位数 $2p^3$ の群

Sylow の定理により位数 $p^3$ の部分群 $N$ が存在する. これは正規部分群である.

$N$ が Abel 群のとき, 半直積 $G \cong N \rtimes C_2$ として以下の可能性がある.

このうち $C_p \times \mathrm{Dih}(C_p \times C_p)$ については $(C_p \times C_p) \rtimes C_{2p}$ とも書ける. 実際 $$G = \langle a, b, c, d \ | \ a^p = b^p = c^p = d^2 = 1, ab = ba, ac = ca, bc = cb, \ d^{-1}ad = a^{-1}, d^{-1}bd = b^{-1}, cd = dc \rangle$$ とおくと, $x = cd$ とおけば $\langle c, d \rangle \cong \langle x \rangle$ で $$\begin{align} x^{-1}ax &= (cd)^{-1}a(cd) \\ &= d^{-1}(c^{-1}ac)d \\ &= d^{-1}ad \\ &= a^{-1}, \end{align}$$ 同様に $x^{-1}bx = b^{-1}$ もわかるので $$G = \langle a, b, x \ | \ a^p = b^p = x^{2p} = 1, ab = ba, x^{-1}ax = a^{-1}, \ x^{-1}bx = b^{-1} \rangle.$$

以下は $N$ が非 Abel 群, すなわち

の場合を考える.

$N = M(p^3)$ の場合

直積は $M(p^3) \times C_2$ であるが, これは $C_{p^2} \rtimes C_{2p}$ とも書ける. 実際 $$G = \langle a, b, c \ | \ a^{p^2} = b^p = c^2 = 1, b^{-1}ab = a^{1 + p}, \ ac = ca, bc = cb \rangle$$ で $x = bc$ とおくと $\langle b, c \rangle \cong \langle x \rangle$ で $$\begin{align} x^{-1}ax &= (bc)^{-1}a(bc) \\ &= c^{-1}(b^{-1}ab)c \\ &= c^{-1}a^{1 + p} c \\ &= (c^{-1}ac)^{1 + p} \\ &= a^{1 + p} \end{align}$$ だから $$G = \langle a, x \ | \ a^{p^2} = x^{2p} = 1, x^{-1}ax = a^{1 + p} \rangle.$$

非自明な半直積 $M(p^3) \rtimes C_2$ を考えるため, $N = M(p^3)$ の自己同型群について考察する. $Z(N)$ は $N$ の特性部分群なので, 準同型 $$f \colon \mathrm{Aut}(N) \to \mathrm{Aut}(N/Z(N)), f(\varphi)(\bar{g}) = \ \overline{\varphi(g)} \quad (g \in N)$$ を導く. $N/Z(Z) \cong C_p \times C_p$ であるため, $$\mathrm{Aut}(N/Z(N)) \cong \mathrm{Aut}(C_p \times C_p) \cong GL(2, p)$$ である.

$$N = \langle a, b \ | \ a^{p^2} = b^p = 1, b^{-1}ab = a^{1 + p} \rangle$$ とおくと $Z(N) = \langle a^p \rangle$ なので, $\varphi \in \mathrm{Aut}(N)$ について $f(\varphi) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ となるためには, 整数 $k, l$ があって $\varphi(a) = a^{1 + kp}, \ \varphi(b) = a^{lp} b$ とならねばならない. $(k, l)$ は $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ の元と一対一に対応するから $\ker f \cong C_p \times C_p.$

短完全列 $$\{ 1 \} \to C_p \times C_p \to \mathrm{Aut}(N) \stackrel{f}{\to} GL(2, p)$$ を考える. $\varphi \in \mathrm{Aut}(N)$ は位数 $p$ の元を位数 $p$ の元に移さなければならないから $\varphi(b) = a^{pm} b^n$ の形でなければならない. このとき $\overline{\varphi(b)} = \bar{b}^n$. 故に $\langle \bar{b} \rangle \subset N/Z(N)$ は $f(\varphi)$ で不変となる. 従って $f$ の像は $GL(2, p)$ の下半三角行列の全体 $$\left\{ \left(\begin{array}{cc} \ast & 0 \\ \ast & \ast \end{array}\right) \in GL(2, p) \right\}$$ に含まれる. 従って, この中で位数 $2$ の元を考えれば良い. 実際, 下半三角行列で位数 $2$ のものは $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$ のみであるが, $\mathrm{Aut}(N)$ にさかのぼって考えたときに関係式 $b^{-1}ab = a^{1 + p}$ を保っていなければならないので, 実際には $\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ のみが可能性がある. これにより求める半直積は決定され $$G = \langle a, b, c \ | \ a^{p^2} = b^p = c^2 = 1, b^{-1}ab = a^{1 + p}, \ c^{-1}ac = a^{-1}, bc = cb \rangle$$ であるが, $x = b^{-1}c$ とおくと $\langle b, c \rangle \cong \langle x \rangle$ で $$\begin{align} x^{-1}ax &= (b^{-1}c)^{-1}a(b^{-1}c) \\ &= c^{-1}(bab^{-1})c \\ &= c^{-1}a^{1 - p}c \\ &= (c^{-1}ac)^{1 - p} \\ &= a^{p - 1} \end{align}$$ となるので $$G = \langle a, x \ | \ a^{p^2} = x^{2p} = 1, x^{-1}ax = a^{p - 1} \rangle.$$

$N = E(p^3)$ の場合

直積は $E(p^3) \times C_2$ であるが, これは $(C_{2p} \times C_p) \rtimes C_p$ とも書ける. 実際 $$G = \langle a, b, c, d \ | \ a^p = b^p = c^p = d^2 = 1, ab = ba, ac = ca, c^{-1}bc = ab, \ ad = da, bd = db, cd = dc \rangle$$ で $x = ad$ とおくと $\langle a, d \rangle \cong \langle x \rangle$ で $xb = bx, xc = cx$ かつ $$c^{-1}bc = ab = x^{p + 1}b$$ なので $$G = \langle x, b, c \ | \ x^{2p} = b^p = c^p = 1, xb = bx, xc = cx, \ c^{-1}bc = x^{p + 1}b \rangle.$$

非自明な半直積 $E(p^3) \rtimes C_2$ を考えるため, $N = E(p^3)$ の自己同型群について考察する. $$N = \langle a, b, c \ | \ a^p = b^p = c^p = 1, ab = ba, ac = ca, \ c^{-1}bc = ab \rangle$$ において $Z(N) = \langle a \rangle$ は $N$ の特性部分群なので, 準同型 $$f \colon \mathrm{Aut}(N) \to \mathrm{Aut}(N/Z(N)), f(\varphi)(\bar{g}) = \ \overline{\varphi(g)} \quad (g \in N)$$ を導く. $N/Z(Z) = \langle \bar{b}, \bar{c} \rangle \cong C_p \times C_p$ であるため, $$\mathrm{Aut}(N/Z(N)) \cong \mathrm{Aut}(C_p \times C_p) \cong GL(2, p)$$ である.

$a = b^{-1}c^{-1}bc$ なので, $\varphi \in \mathrm{Aut}(N)$ は $\varphi(b), \varphi(c)$ で完全に決定される. よって $f$ は全射である. $f(\varphi) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ となるためには整数 $m, n$ があって $\varphi(b) = a^m b, \ \varphi(c) = a^n c$ とならなければならない. $(m, n)$ は $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ の元と一対一に対応するから $\ker f \cong C_p \times C_p.$ よって短完全列 $$\{ 1 \} \to C_p \times C_p \to \mathrm{Aut}(N) \stackrel{f}{\to} GL(2, p) \to \{ 1 \}$$ を得る. $GL(2, p)$ の Sylow $2$-部分群を $H$ とするとき $$\{ 1 \} \to C_p \times C_p \to f^{-1}(H) \stackrel{f}{\to} H \to \{ 1 \}$$ は分裂する短完全列である. このとき $\ker f \cong C_p \times C_p$ は奇数位数なので, $f^{-1}(H)$ の Sylow $2$-部分群 $K$ は $\mathrm{Aut}(N)$ の Sylow $2$-部分群でもあり, しかも $f$ は同型 $K \cong H$ を導く.

結論

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