双圏

双圏の定義

$\mathcal{B}$ が双圏(bicategory)であるとは以下の全てを満たすことである.

上記の $\alpha_{abcd}, \rho_{ab}, \lambda_{ab}$ が全ての $a, b, c, d$ について恒等変換であるとき, $\mathcal{B}$ は2-圏であると言う(再定義).

コヒーレンス条件について

コヒーレンス条件の図式は何を言いたいのだろうか. 例えば合成に関して言えば, 四つの射の合成について, 自然同型 $$((k \star h) \star g) \star f \cong k \star (h \star (g \star f))$$ を与える方法が $$((k \star h) \star g) \star f \stackrel{\alpha \star f}{\cong} (k \star (h \star g)) \star f \ \stackrel{\alpha}{\cong} k \star ((h \star g) \star f) \ \stackrel{k \star \alpha}{\cong} k \star (h \star (g \star f))$$ と $$((k \star h) \star g) \star f \stackrel{\alpha}{\cong} (k \star h) \star (g \star f) \ \stackrel{\alpha}{\cong} k \star (h \star (g \star f))$$ の見かけ上二通りあるが, 両者が等しいことを言っている(五角図式).

五角図式

恒等射についても同様の可換図式がある.

三角図式(恒等射)

ここで気になるのが, 「五つ以上の射の合成に関してはもっと複数の自然同型の与え方があるのでは?」といったことであるが, 実は上記の二つの条件さえ認めてしまえば問題がない(コヒーレンス定理). これを証明するために, 後で双圏版の米田の補題を証明する.

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